kaoyan1basic 概率论与数理统计 第13题
📝 题目
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．已知两只灯泡的寿命独立同分布于期望为 2 的指数分布．第一只灯泡先亮，若 1 小时内第一只灯泡坏掉，则在第 1 小时时第二只灯泡才亮；若 1 小时内第一只灯泡未坏掉，则在第一只灯泡坏掉时，立即点亮第二只灯泡。令 $T$ 为从点亮第一只灯泡直到第二只灯泡坏掉的时间，则 $E(T)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$3-e^{-1}$ **解析**：步骤1：灯泡寿命$X_i\sim Exp(1/2)$，即密度$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}e^{-x/2}$，$x>0$，$E(X_i)=2$。 步骤2：设第一只灯泡寿命为$X$，第二只寿命为$Y$，$T$为总时间。若$X\leq1$，则$T=X+Y$；若$X>1$，则$T=X+Y$（第二只从第一只坏时开始）。故$T=X+Y$恒成立。 步骤3：$E(T)=E(X)+E(Y)=2+2=4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定随机变量分布
灯泡寿命服从指数分布，期望为2，则参数λ=1/2，概率密度函数为f(x)=1/2 e^{-x/2} (x>0)。
公式：X ~ Exp(1/2), f(x)=1/2 e^{-x/2}
提示：指数分布的期望为1/λ，故λ=1/2。
步骤 2/3
目标：分析总时间T的构成
设第一只灯泡寿命为X，第二只寿命为Y。无论第一只灯泡是否在1小时内坏掉，第二只灯泡都在第一只坏掉时开始亮，因此总时间T = X + Y。
公式：T = X + Y
提示：注意：若X≤1，第二只从第1小时开始；若X>1，第二只从X时刻开始。但总时间始终是X+Y。
步骤 3/3
目标：计算期望
由于X和Y独立同分布，E(X)=E(Y)=2，故E(T)=E(X)+E(Y)=4。
公式：E(T)=E(X)+E(Y)=2+2=4
提示：期望的线性性质：E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
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