kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立且均服从 $U[1,4], \Phi(x)$ 是标准正态分布的分布函数，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 \sum_{i=1}^{n} X_{i}-5 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=$ ． （A）$\Phi(x)$ （B）$\Phi(\sqrt{3} x)$ （C）$\displaystyle \Phi\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$ （D）$\displaystyle \Phi\left(\frac{2 x}{\sqrt{3}}\right)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$X_i\sim U[1,4]$，则$\displaystyle E(X_i)=\frac{1+4}{2}=2.5$，$\displaystyle D(X_i)=\frac{(4-1)^2}{12}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$。 步骤2：由独立同分布中心极限定理，$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - n\cdot 2.5}{\sqrt{n\cdot\frac{3}{4}}}=\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i-5n}{\sqrt{3n}}$近似服从$N(0,1)$。 步骤3：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i-5n}{\sqrt{n}}\leqslant x\right\}=P\left\{\frac{2\sum_{i=1}^{n}X_i-5n}{\sqrt{3n}}\leqslant \frac{x}{\sqrt{3}}\right\}=\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$。 **难度**：★★★☆☆