kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 服从 $[-\pi, \pi]$ 上的均匀分布，记 $Y_{k}= \cos \left(k X_{k}\right), k=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：$X$服从$[-\pi,\pi]$上的均匀分布，概率密度为$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2\pi}, x\in[-\pi,\pi]$。 步骤2：$Y_k=\cos(kX_k)$，则$\displaystyle Y_k^2=\cos^2(kX_k)=\frac{1+\cos(2kX_k)}{2}$。 步骤3：$\displaystyle E(Y_k^2)=E\left(\frac{1+\cos(2kX_k)}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}E(\cos(2kX_k))$，而$\displaystyle E(\cos(2kX_k))=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2kx)dx=0$，故$\displaystyle E(Y_k^2)=\frac{1}{2}$。 步骤4：由辛钦大数定律，$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Y_k^2$依概率收敛于$\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆