kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle Y_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：总体$X$服从参数为2的指数分布，其概率密度为$f(x)=2e^{-2x}, x>0$，则$\displaystyle E(X)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。 步骤2：由辛钦大数定律，$\displaystyle Y_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2$依概率收敛于$\displaystyle E(X^2)=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算总体X的期望和二阶矩
总体X服从参数为2的指数分布，其概率密度函数为f(x)=2e^{-2x}, x>0。指数分布的期望E(X)=1/λ=1/2，方差D(X)=1/λ^2=1/4，因此E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1/4+1/4=1/2。
公式：E(X)=1/λ, D(X)=1/λ^2, E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2
提示：指数分布的参数λ=2，注意期望和方差公式。
步骤 2/2
目标：应用辛钦大数定律
由于X_i^2独立同分布且期望存在，由辛钦大数定律，样本均值Y_n=(1/n)∑X_i^2依概率收敛于其数学期望E(X^2)=1/2。
公式：Y_n = (1/n)∑X_i^2 → E(X^2) (依概率)
提示：大数定律要求随机变量独立同分布且期望存在。
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