kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}, \cdots$ 相互独立，且均服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，若根据中心极限定理，有
$$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a \sum_{i=1}^{n}\left(X_{2 i}-X_{2 i-1}\right) \leqslant \sqrt{n} x\right\}=\Phi(x),$ $$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle X_i\sim B(1,\frac{1}{2})$，则$\displaystyle E(X_i)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle D(X_i)=\frac{1}{4}$。令$Z_i=X_{2i}-X_{2i-1}$，则$Z_i$独立同分布，$E(Z_i)=0$，$\displaystyle D(Z_i)=D(X_{2i})+D(X_{2i-1})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。 步骤2：由中心极限定理，$\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^{n}Z_i}{\sqrt{n\cdot\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{2}\sum_{i=1}^{n}Z_i}{\sqrt{n}}$近似服从$N(0,1)$。 步骤3：已知$\lim_{n\to\infty}P\left\{a\sum_{i=1}^{n}Z_i\leqslant\sqrt{n}x\right\}=\Phi(x)$，即$\displaystyle \frac{a\sum_{i=1}^{n}Z_i}{\sqrt{n}}$近似服从$N(0,1)$，故$a=\sqrt{2}$。 **难度**：★★★☆☆