kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $A, B$ 为随机事件，且 $0P(A)$ ，则 $P(\bar{A} \mid \bar{B})>P(\bar{A})$ （B）若 $P(A \mid B)=P(A)$ ，则 $P(A \mid \bar{B})=P(A)$ （C）若 $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ ，则 $P(A \mid B)>P(A)$ （D）若 $P(A \mid A \cup B)>P(\bar{A} \mid A \cup B)$ ，则 $P(A)>P(B)$

💡 答案解析

**答案**：D **解析**： 步骤1：选项A、B、C均为真命题（可由条件概率性质推导）。 步骤2：选项D：由$P(A\mid A\cup B)>P(\bar{A}\mid A\cup B)$得$P(A)>P(\bar{A})$，即$\displaystyle P(A)>\frac{1}{2}$，但无法推出$P(A)>P(B)$，故为假命题。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：分析选项A、B、C是否为真命题
利用条件概率性质推导：若P(A|B)>P(A)，则P(AB)>P(A)P(B)，可推出P(Ā|B̄)>P(Ā)；若P(A|B)=P(A)，则A与B独立，故P(A|B̄)=P(A)；若P(A|B)>P(A|B̄)，则P(AB)>P(A)P(B)，即P(A|B)>P(A)。因此A、B、C均为真命题。
公式：P(A|B)=P(AB)/P(B); 独立性: P(AB)=P(A)P(B)
提示：注意条件概率与独立性的关系
步骤 2/2
目标：分析选项D是否为假命题
由P(A|A∪B)>P(Ā|A∪B)得P(A∩(A∪B))/P(A∪B) > P(Ā∩(A∪B))/P(A∪B)，即P(A)/P(A∪B) > P(Ā)/P(A∪B)，故P(A)>P(Ā)=1-P(A)，得P(A)>1/2。但无法推出P(A)>P(B)，例如取P(A)=0.6, P(B)=0.7，则P(A|A∪B)=0.6/0.88≈0.682, P(Ā|A∪B)=0.28/0.88≈0.318，满足条件但P(A)
公式：P(A|A∪B)=P(A)/P(A∪B); P(Ā|A∪B)=P(Ā)/P(A∪B)
提示：注意P(A)>1/2并不保证P(A)>P(B)

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