kaoyan1basic 概率论与数理统计 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $A$ 和 $B$ 是概梁不等于 0 和 1 的任意两个事件，且满足 $P(B \mid A)+P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$ ，则事件 $A$和 $B$ —定 $\_\_\_\_$ ．
## 第1章 随机事件和概率
💡 答案解析
**答案**：相互独立 **解析**： 步骤1：由$P(B\mid A)+P(\bar{B}\mid\bar{A})=1$，得$\displaystyle \frac{P(AB)}{P(A)}+\frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{A})}=1$。 步骤2：$P(\bar{A}\bar{B})=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，代入整理得$P(AB)=P(A)P(B)$，故$A,B$相互独立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将条件概率等式转化为事件概率的关系式
由条件概率公式，$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，$P(\bar{B}|\bar{A}) = \frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{A})}$，代入已知等式得：
$$\frac{P(AB)}{P(A)} + \frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{A})} = 1$$
公式：P(B|A) = P(AB)/P(A), P(\bar{B}|\bar{A}) = P(\bar{A}\bar{B})/P(\bar{A})
提示：注意$P(A)$和$P(\bar{A})$均不为0，因为题目说概率不等于0和1。
步骤 2/4
目标：用$P(A), P(B), P(AB)$表示$P(\bar{A}\bar{B})$
利用德摩根定律，$\bar{A}\bar{B} = \overline{A \cup B}$，所以$P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - P(A \cup B)$。而$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$，因此$P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)$。
公式：P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB)
提示：利用概率的加法公式和补事件的性质。
步骤 3/4
目标：代入并化简等式，得到$P(AB) = P(A)P(B)$
将$P(\bar{A}\bar{B})$的表达式代入第一步的等式：
$$\frac{P(AB)}{P(A)} + \frac{1 - P(A) - P(B) + P(AB)}{1 - P(A)} = 1$$
两边乘以$P(A)(1-P(A))$：
$$P(AB)(1-P(A)) + [1 - P(A) - P(B) + P(AB)]P(A) = P(A)(1-P(A))$$
展开左边：$P(AB) - P(AB)P(A) + P(A) - P(A)^2 - P(A)P(B) + P(AB)P(A)$，化简得$P(AB) + P(A) - P(A)^2 - P(A)P(B)$。右边为$P(A) - P(A)^2$。两边同时减去$P(A) - P(A)^2$得$P(AB) - P(A)P(B) = 0$，即$P(AB) = P(A)P(B)$。
公式：P(AB) = P(A)P(B)
提示：注意合并同类项时$P(AB)P(A)$项抵消。
步骤 4/4
目标：根据独立性的定义得出结论
由$P(AB) = P(A)P(B)$可知，事件$A$和$B$相互独立。
提示：独立性的定义：若$P(AB)=P(A)P(B)$，则$A,B$独立。
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