kaoyan1basic 概率论与数理统计 第23题
📝 题目
### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设总体 $X \sim N\left(\mu, 2^{2}\right)$ ，其中 $\mu$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{0}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，记关于 $\mu$ 的咀信度为 0.95 的置信区间长度为 $L$ ，则 $L$ 的数学期望 $E(L)=$ ． （A）$\displaystyle \frac{2}{3} x_{0.025}$ （B）$\displaystyle \frac{4}{3} z_{0.025}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{3} z_{0.05}$ （D）$\displaystyle \frac{4}{3} z_{0.05}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\sigma=2$，置信区间长度$\displaystyle L=2\cdot z_{0.025}\cdot\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}z_{0.025}$，$\displaystyle E(L)=\frac{4}{3}z_{0.025}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定置信区间长度公式
总体方差已知，置信区间长度为 $L = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中 $\alpha=0.05$，$\sigma=2$，$n=9$。
公式：$L = 2 \cdot z_{0.025} \cdot \frac{2}{\sqrt{9}}$
提示：注意置信度0.95对应 $\alpha=0.05$，分位点为 $z_{0.025}$。
步骤 2/3
目标：计算长度表达式
代入数值：$L = 2 \cdot z_{0.025} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} z_{0.025}$。
公式：$L = \frac{4}{3} z_{0.025}$
提示：长度与样本无关，是常数。
步骤 3/3
目标：求期望
由于 $L$ 是常数，期望等于自身：$E(L) = \frac{4}{3} z_{0.025}$。
公式：$E(L) = \frac{4}{3} z_{0.025}$
提示：常数的期望就是常数本身。
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