kaoyan1basic 概率论与数理统计 第22题
📝 题目
### 【强化篇】第22题（选择题） 22．设总体 $X$ 的末知参数 $\theta$ 有两个相互独立的无偏估计量 $\dot{\theta}_{1}$ 与 $\dot{\theta}_{2}$ ，且 $D\left(\dot{\theta}_{2}\right)=2 D\left(\dot{\theta}_{1}\right)$ ，记 $\dot{\theta}_{1}= a \hat{\theta}_{1}+b \hat{\theta}_{2}$ ，则以下使得 $\theta$ 最有效的是（ ）。 （A）$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{3}$ （B）$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{1}{3}$ （C）$\displaystyle a=\frac{1}{3}, b=\frac{2}{3}$ （D）$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{2}{3}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\dot{\theta}=a\hat{\theta}_1+b\hat{\theta}_2$，无偏则$a+b=1$。方差$D(\dot{\theta})=a^2D(\hat{\theta}_1)+b^2D(\hat{\theta}_2)=a^2D(\hat{\theta}_1)+(1-a)^2\cdot2D(\hat{\theta}_1)=[a^2+2(1-a)^2]D(\hat{\theta}_1)$。求导得$2a-4(1-a)=0$，$\displaystyle a=\frac{2}{3}, b=\frac{1}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定无偏条件
由于θ̂1和θ̂2是θ的无偏估计，且θ̂ = aθ̂1 + bθ̂2，要使θ̂无偏，需满足E(θ̂) = aE(θ̂1) + bE(θ̂2) = (a+b)θ = θ，因此a+b=1。
公式：a+b=1
提示：无偏估计的线性组合仍无偏的条件是系数和为1。
步骤 2/3
目标：计算方差表达式
已知D(θ̂2)=2D(θ̂1)，且θ̂1与θ̂2独立，则D(θ̂)=a²D(θ̂1)+b²D(θ̂2)=a²D(θ̂1)+b²·2D(θ̂1)=[a²+2b²]D(θ̂1)。代入b=1-a，得D(θ̂)=[a²+2(1-a)²]D(θ̂1)。
公式：D(θ̂)=[a²+2(1-a)²]D(θ̂1)
提示：利用独立性，方差可分解为系数平方乘以各自方差。
步骤 3/3
目标：求方差最小值点
令f(a)=a²+2(1-a)²，求导得f'(a)=2a-4(1-a)=6a-4=0，解得a=2/3，则b=1-a=1/3。此时方差最小，估计最有效。
公式：f'(a)=6a-4=0 ⇒ a=2/3
提示：求导找极值点，注意二阶导为正确认最小值。
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