kaoyan1basic 概率论与数理统计 第21题
📝 题目
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，取容量为 1 的简单随机样本 $X_{1}$ ，其样本值 $x_{1}=$ 3．则 $\mathrm{e}^{-2 \lambda}$ 的无偏估计量与无偏估计值分别为（ ）。 （A）$e^{-2 X_{1}}, e^{-0}$ （B）$e^{-x_{1}}, e^{-3}$ （C） 1,1 （D）$(-1)^{x_{1}},-1$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\displaystyle E(e^{-2X_1})=\sum_{k=0}^\infty e^{-2k}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(e^{-2}\lambda)^k}{k!}=e^{-\lambda(1-e^{-2})}\neq e^{-2\lambda}$，无偏估计需满足$E(T)=e^{-2\lambda}$。选项A：$E(e^{-2X_1})=e^{-\lambda(1-e^{-2})}\neq e^{-2\lambda}$，但题目可能考虑特殊形式。实际$e^{-2X_1}$不是无偏，但选项A给出$e^{-2X_1}$和$e^{-6}$，无意义。正确无偏估计为$(-1)^{X_1}$，因为$E((-1)^{X_1})=e^{-2\lambda}$，对应D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解无偏估计的定义
无偏估计要求估计量的期望等于待估参数，即 E(T) = e^{-2λ}。
公式：E(T) = e^{-2λ}
提示：注意无偏性是对估计量的期望而言，不是对样本值。
步骤 2/4
目标：计算选项A的期望
对于选项A，估计量为 e^{-2X1}，计算其期望：E(e^{-2X1}) = Σ_{k=0}^∞ e^{-2k} * (λ^k/k!) * e^{-λ} = e^{-λ} Σ_{k=0}^∞ (e^{-2}λ)^k/k! = e^{-λ} * e^{e^{-2}λ} = e^{-λ(1-e^{-2})} ≠ e^{-2λ}，故不是无偏估计。
公式：E(e^{-2X1}) = e^{-λ(1-e^{-2})}
提示：泊松分布的概率质量函数为 P(X=k)=e^{-λ}λ^k/k!。
步骤 3/4
目标：验证选项D
对于选项D，估计量为 (-1)^{X1}，计算期望：E((-1)^{X1}) = Σ_{k=0}^∞ (-1)^k * (λ^k/k!) * e^{-λ} = e^{-λ} Σ_{k=0}^∞ (-λ)^k/k! = e^{-λ} * e^{-λ} = e^{-2λ}，满足无偏性。
公式：E((-1)^{X1}) = e^{-2λ}
提示：利用指数级数展开 Σ (-λ)^k/k! = e^{-λ}。
步骤 4/4
目标：确定无偏估计值和答案
样本值 x1=3，代入无偏估计量 (-1)^{X1} 得估计值 (-1)^3 = -1。因此正确选项为D。
公式：(-1)^{x1} = -1
提示：注意区分估计量和估计值：估计量是随机变量，估计值是具体数值。
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