kaoyan1basic 概率论与数理统计 第24题
📝 题目
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{25}$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，$\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数，考虑假设检验问题：$H_{0}: \mu \leqslant 10, H_{1}: \mu>10$ ，若该检验问题的拒绝域为 $W=\{\bar{X}>20\}$ ，其中 $\displaystyle \bar{X}= \frac{1}{25} \sum_{i=1}^{26} X_{i}$ ，则 $\mu=20.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为 $\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ ，则 $\sigma=$ ． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：第二类错误概率$\displaystyle \beta=P(\bar{X}\le20|\mu=20.5)=\Phi\left(\frac{20-20.5}{\sigma/5}\right)=\Phi\left(-\frac{0.5}{\sigma/5}\right)=1-\Phi\left(\frac{2.5}{\sigma}\right)$。已知$\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$，则$\displaystyle \frac{2.5}{\sigma}=\frac{1}{2}$，$\sigma=5$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算第二类错误概率β的表达式
第二类错误概率β = P(接受H0|H1为真) = P(样本均值≤20|μ=20.5)。由于样本来自N(μ,σ²)，样本均值服从N(μ, σ²/25)，即N(20.5, σ²/25)。标准化得：β = Φ((20-20.5)/(σ/5)) = Φ(-2.5/σ) = 1 - Φ(2.5/σ)。
公式：β = Φ((20-20.5)/(σ/5)) = 1 - Φ(2.5/σ)
提示：注意第二类错误是当备择假设为真时，检验统计量落入接受域的概率。
步骤 2/2
目标：利用已知条件求解σ
已知β = 1 - Φ(1/2)，与上一步得到的β = 1 - Φ(2.5/σ)对比，得2.5/σ = 1/2，解得σ = 5。
公式：2.5/σ = 1/2 ⇒ σ = 5
提示：比较两个表达式中的Φ参数即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。