kaoyan1basic 概率论与数理统计 第28题
📝 题目
### 【强化篇】第28题（解答题） 28．设总体 $X$ 的概率密度为
$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta}{x^{2}}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x<\theta,\end{cases} $$
其中 $\theta>0$ 为未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X_{(1)}=\min \left\{X_{1}\right.$ ， $\left.X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$ 。 （1）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ，并求常数 $a$ ，使得 $a \hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计； （2）对于原假设 $H_{0}: \theta=2$ 与备择假设 $H_{1}: \theta>2$ ，若 $H_{0}$ 的拒绝域为 $V=\left\{X_{(1)} \geqslant 3\right\}$ ，求犯第一类错误的概率 $\alpha$ 。
綜合篇
💡 答案解析
**答案**：（1）$\hat{\theta}=X_{(1)}$，$a=n$；（2）$\displaystyle \alpha=\left(\frac{2}{3}\right)^n$ **解析**：步骤1：似然函数$\displaystyle L(\theta)=\frac{\theta^n}{\prod x_i^2}I_{\{X_{(1)}\ge\theta\}}$，最大似然估计$\hat{\theta}=X_{(1)}$。$X_{(1)}$的密度$\displaystyle f_{X_{(1)}}(x)=\frac{n\theta^n}{x^{n+1}}, x\ge\theta$，$\displaystyle E(X_{(1)})=\frac{n}{n-1}\theta$，令$\displaystyle E(a\hat{\theta})=a\frac{n}{n-1}\theta=\theta$，得$\displaystyle a=\frac{n-1}{n}$。修正：$\displaystyle E(X_{(1)})=\frac{n\theta}{n-1}$，则$\displaystyle a=\frac{n-1}{n}$。 步骤2：$\displaystyle \alpha=P(X_{(1)}\ge3|\theta=2)=\int_3^\infty \frac{n\cdot2^n}{x^{n+1}}dx=\left(\frac{2}{3}\right)^n$。 **难度**：★★★☆☆