kaoyan1basic 概率论与数理统计 第27题
📝 题目
### 【强化篇】第27题（选择题） 27．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自均匀分布总体 $U(0, \theta)(\theta>0)$ 的简单随机样本，原假设 $H_{0}: \theta \geqslant 2$ ，备择假设 $H_{1}: \theta<2$ ，拒绝域为 $W=\left\{X_{(n)} \leqslant a\right\}$ ，其中 $a>0, X_{(n)}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}$ ，若犯第一类错误的概率的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{3^{n}}$ ，则 $a=$ ． （A）$\displaystyle \frac{4}{3}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{2}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：犯第一类错误概率$\displaystyle \alpha=P(X_{(n)}\le a|\theta=2)=\left(\frac{a}{2}\right)^n$，最大值为$\theta=2$时，$\displaystyle \alpha=\left(\frac{a}{2}\right)^n=\frac{1}{3^n}$，得$\displaystyle a=\frac{2}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定第一类错误概率表达式
第一类错误是当原假设H0为真时拒绝H0的概率。这里H0: θ≥2，拒绝域为X(n)≤a。由于θ越大，X(n)≤a的概率越小，因此犯第一类错误的概率在θ=2时最大。计算α = P(X(n)≤a | θ=2)。
公式：α = P(X(n)≤a | θ=2) = (a/2)^n
提示：均匀分布U(0,θ)的样本最大值X(n)的分布函数为F(x)=(x/θ)^n, 0≤x≤θ。
步骤 2/2
目标：利用最大概率条件求解a
已知犯第一类错误的概率最大值为1/3^n，即(a/2)^n = 1/3^n，两边开n次方得a/2 = 1/3，解得a = 2/3。
公式：(a/2)^n = 1/3^n ⇒ a/2 = 1/3 ⇒ a = 2/3
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