kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．对于任意事件 $A, B, C$ ，若 $\overline{A+B} \supset C$ ，则 ． （A） $\bar{A}+\bar{B} \supset \bar{C}$ （B） $\bar{A} \bar{B} \supset \bar{C}$ （C）$A+B \subset \bar{C}$ （D）$A B \subset C$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\overline{A+B}\supset C$等价于$C\subset\bar{A}\bar{B}$。 步骤2：由$C\subset\bar{A}\bar{B}$，得$\bar{C}\supset A\cup B$，即$A+B\subset\bar{C}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将条件转化为集合包含关系
已知条件为 $\overline{A+B} \supset C$，根据德摩根定律，$\overline{A+B} = \bar{A} \bar{B}$，因此条件等价于 $\bar{A} \bar{B} \supset C$，即 $C \subset \bar{A} \bar{B}$。
公式：$\overline{A+B} = \bar{A} \bar{B}$
提示：注意德摩根定律的运用：并集的补等于补集的交。
步骤 2/2
目标：推导选项中的关系
由 $C \subset \bar{A} \bar{B}$ 可知，$C$ 中的元素都在 $\bar{A}$ 和 $\bar{B}$ 中，即 $C$ 中的元素不在 $A$ 中也不在 $B$ 中。因此，$A$ 或 $B$ 中的元素（即 $A+B$）都不在 $C$ 中，即 $A+B \subset \bar{C}$。
公式：若 $C \subset \bar{A} \bar{B}$，则 $A+B \subset \bar{C}$
提示：利用补集的性质：$C \subset \bar{A} \bar{B}$ 意味着 $C$ 与 $A$、$B$ 均无交集，所以 $A$ 和 $B$ 的并集包含于 $C$ 的补集。
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