kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于 $E(\lambda)$ ，其中 $\lambda>0, F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，则与 $F(X)$ 同分布的是（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{2 X}{X+Y}$ （B）$\displaystyle \frac{X}{Y}$ （C）$\displaystyle \frac{X+Y}{2 X}$ （D）$\displaystyle \frac{Y}{X+Y}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$X,Y$独立同分布于$E(\lambda)$，$F(x)=1-e^{-\lambda x}$，则$F(X)\sim U(0,1)$。 步骤2：选项D：$\displaystyle \frac{Y}{X+Y}$服从$Beta(1,1)$即$U(0,1)$，与$F(X)$同分布。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定F(X)的分布
由于X服从参数为λ的指数分布，其分布函数F(x)=1-e^{-λx}。由概率积分变换，F(X)服从均匀分布U(0,1)。
公式：F(X)~U(0,1)
提示：指数分布的分布函数是连续的，因此F(X)服从均匀分布。
步骤 2/3
目标：分析选项D的分布
由于X和Y独立同分布于指数分布E(λ)，则Y/(X+Y)服从Beta(1,1)分布，即均匀分布U(0,1)。
公式：Y/(X+Y)~Beta(1,1)=U(0,1)
提示：指数分布与Gamma分布的关系：X+Y~Gamma(2,λ)，且Y/(X+Y)与X+Y独立，服从Beta分布。
步骤 3/3
目标：比较分布
F(X)和Y/(X+Y)均服从U(0,1)，因此同分布。
提示：其他选项的分布不是U(0,1)。
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