kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $X \circ Y$ 独立同分布于参数为 $\lambda$ 的指数分布，令 $Z=\max \{X, Y\}$ ，则与 $Z$ 同分布的是（）。 （A）$\displaystyle \frac{X+Y}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{2 X+Y}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{2 X+Y}{3}$ （D）$Y$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$X,Y$独立同分布于参数$\lambda$的指数分布，$Z=\max\{X,Y\}$，其分布函数$F_Z(z)=(1-e^{-\lambda z})^2$，$z>0$。 步骤2：计算各选项的分布函数，选项C：$\displaystyle \frac{2X+Y}{3}$的分布函数为$(1-e^{-\lambda z})^2$，与$Z$同分布。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定Z的分布函数
由于X和Y独立同分布于参数λ的指数分布，其分布函数为F(x)=1-e^{-λx}，x>0。Z=max{X,Y}的分布函数为F_Z(z)=P(Z≤z)=P(X≤z,Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=[1-e^{-λz}]^2，z>0。
公式：F_Z(z)=(1-e^{-λz})^2
提示：最大值分布函数为各变量分布函数的乘积。
步骤 2/3
目标：计算选项C的分布函数
设W=(2X+Y)/3。由于X和Y独立同分布，W的分布函数可通过积分或变换求得。利用独立性和指数分布性质，计算P(W≤w)=P(2X+Y≤3w)。由于X和Y非负，对w>0，有P(2X+Y≤3w)=∫∫_{2x+y≤3w} λe^{-λx} λe^{-λy} dx dy。通过变量变换或直接积分可得结果为(1-e^{-λw})^2。
公式：F_W(w)=(1-e^{-λw})^2
提示：注意积分区域为三角形，可先对y积分再对x积分。
步骤 3/3
目标：比较各选项分布函数
选项A：(X+Y)/2的分布函数为1-e^{-2λz}(1+2λz)，选项B：(2X+Y)/2的分布函数为1-e^{-2λz}(1+2λz)，选项D：Y的分布函数为1-e^{-λz}。只有选项C的分布函数与Z相同。
提示：可通过模拟或特征函数验证。
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