kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立、 $\displaystyle X_{1} \sim\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right), X_{2} \sim N(0,1), Y=2 X_{1} X_{2}-X_{2}$ ，则 $Y$ 的分布函数为（ ）。 （A）］$-\Phi\left(2 y^{\prime}\right)$ （B） $1-\Phi(y)$ （C）$\Phi(2 y)$ （D）$\Phi(y)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$X_1$服从两点分布：$\displaystyle P(X_1=0)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(X_1=1)=\frac{1}{2}$，$X_2\sim N(0,1)$且独立。 步骤2：$Y=2X_1X_2-X_2=X_2(2X_1-1)$。当$X_1=0$时，$Y=-X_2$；当$X_1=1$时，$Y=X_2$。由对称性，$Y$与$X_2$同分布，即$Y\sim N(0,1)$，分布函数为$\Phi(y)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定随机变量X1的分布
由题意，X1服从两点分布：P(X1=0)=1/2，P(X1=1)=1/2。
提示：注意分布列的含义。
步骤 2/5
目标：化简Y的表达式
Y=2X1X2-X2=X2(2X1-1)。
公式：Y = X2(2X1-1)
提示：提取公因子X2。
步骤 3/5
目标：分情况讨论Y的取值
当X1=0时，Y=-X2；当X1=1时，Y=X2。
提示：利用X1的取值将Y表示为X2的函数。
步骤 4/5
目标：利用对称性判断Y的分布
由于X2~N(0,1)，其分布关于原点对称，因此-X2与X2同分布，故Y与X2同分布，即Y~N(0,1)。
提示：标准正态分布的对称性：若Z~N(0,1)，则-Z~N(0,1)。
步骤 5/5
目标：得出Y的分布函数
Y服从标准正态分布，其分布函数为Φ(y)。
公式：F_Y(y) = Φ(y)
提示：标准正态分布函数记为Φ(y)。
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