kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0
💡 答案解析
**答案**： （1）$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S}, & (x,y)\in D \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，其中$\displaystyle S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\frac{1}{3}$，故$f(x,y)=3$ （2）不独立 （3）$\displaystyle F_Z(z)=\begin{cases}0, & z<0 \\ \frac{3}{2}z^2, & 0\leqslant z<1 \\ 1-\frac{3}{2}(2-z)^2, & 1\leqslant z<2 \\ 1, & z\geqslant2\end{cases}$ **解析**： 步骤1：区域$D$面积$\displaystyle S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac{1}{3}$，故联合密度$f(x,y)=3$。 步骤2：$U=1$当$X\leqslant Y$，即$y\geqslant x$，在$D$内对应区域；$U=0$当$X>Y$。计算边缘分布可判断不独立。 步骤3：$Z=U+X$，取值范围$[0,2]$，通过积分求分布函数。 **难度**：★★★★☆