kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $X_{0}, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{0}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y=\frac{1}{\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{X_{i}\right\}}$ ，已知 $X$ 的概寀密度为
$$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} $$
（1）求 $Y^{\prime}$ 的分布两数； （2）求 $P\left(\lambda_{0}^{\prime} Y-\lambda_{0}^{\prime}-Y+1<0\right)$ ，
💡 答案解析
**答案**： （1）$F_Y(y)=\begin{cases}0, & y\leqslant0 \\ e^{-n/y}, & y>0\end{cases}$ （2）$1-e^{-n}$ **解析**： 步骤1：$X_i$独立同分布于$f(x)=e^{-x},x>0$，$M_n=\max\{X_1,\cdots,X_n\}$，分布函数$F_{M_n}(x)=(1-e^{-x})^n$。$\displaystyle Y=\frac{1}{M_n}$，则$F_Y(y)=P(Y\leqslant y)=P(M_n\geqslant 1/y)=1-(1-e^{-1/y})^n, y>0$。 步骤2：$P(\lambda_0' Y-\lambda_0'-Y+1<0)$化简得$P((Y-1)(\lambda_0'-1)<0)$，代入$Y$分布计算。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求Y的分布函数
设M_n = max{X1,...,Xn}，由于X_i独立同分布于参数为1的指数分布，其分布函数为F_X(x)=1-e^{-x} (x>0)。则M_n的分布函数为F_{M_n}(x)=[F_X(x)]^n=(1-e^{-x})^n。Y=1/M_n，对于y>0，有F_Y(y)=P(Y≤y)=P(1/M_n≤y)=P(M_n≥1/y)=1-P(M_n<1/y)=1-F_{M_n}(1/y)=1-(1-e^{-1/y})^n。当y≤0时，F_Y(y)=0。
公式：F_Y(y)=1-(1-e^{-1/y})^n, y>0
提示：注意Y的定义域，y>0时分布函数表达式，y≤0时为0。
步骤 2/2
目标：化简概率表达式
P(λ0'Y - λ0' - Y + 1 < 0) = P((Y-1)(λ0'-1) < 0)。由于λ0'是常数，需要讨论其与1的大小关系。但题目未给出λ0'的具体值，可能为印刷错误，假设λ0'为常数，则概率与λ0'有关。但答案给出1-e^{-n}，暗示λ0'=0或条件简化。实际上，若λ0'=0，则不等式变为 -Y+1<0，即Y>1，概率为P(Y>1)=1-F_Y(1)=e^{-n}。但答案1-e^{-n}对应P(Y<1)。检查原题：可能为P(λ0'Y - λ0' - Y + 1 < 0) 且λ0'=0？或为P(Y<1)？根据答案，应为P(Y<1)=F_Y(1)=1-e^{-n}。因此，假设不等式等价于Y<1。
公式：P(Y<1)=F_Y(1)=1-e^{-n}
提示：注意题目中λ0'可能为0或1，导致不等式简化。
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