kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，其中
$$ D=\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\} $$
令 $U=X+Y, V=X-Y$ ．求： （1）$U$ 与 $V$ 的概率密度 $f_{U}(u)$ 与 $f_{V}(v)$ ； （2）$U$ 与 $V$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(U, V)$ 和相关系数 $\rho_{U V}$ ．
💡 答案解析
**答案**： （1）$\displaystyle f_U(u)=\begin{cases}\frac{1}{2}(1-|u|), & |u|\leqslant1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，$\displaystyle f_V(v)=\begin{cases}\frac{1}{2}(1-|v|), & |v|\leqslant1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$ （2）$\operatorname{Cov}(U,V)=0$，$\rho_{UV}=0$ **解析**： 步骤1：区域$D$面积$S=2$，联合密度$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2}$。$U=X+Y$，$V=X-Y$，通过变量变换或卷积求边缘密度。 步骤2：$E(U)=0$，$E(V)=0$，$E(UV)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2)=0$，故$\operatorname{Cov}(U,V)=0$，相关系数为0。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定联合概率密度函数
区域D是菱形，顶点为(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)，面积S=2。由于服从均匀分布，联合密度f(x,y)=1/2，当(x,y)∈D，否则0。
公式：f(x,y)=1/2, (x,y)∈D
提示：注意区域D的边界方程|x|+|y|≤1，面积可用对角线乘积的一半计算。
步骤 2/5
目标：求U的概率密度f_U(u)
U=X+Y，用卷积公式或变量变换。方法：先求U的分布函数，再求导。或者用变量变换法：令u=x+y, v=x-y，则x=(u+v)/2, y=(u-v)/2，雅可比行列式|J|=1/2。联合密度f(u,v)=f(x,y)*|J|=1/4，区域变换为|u|≤1, |v|≤1，且|u|+|v|≤2？实际上，由|x|+|y|≤1得|(u+v)/2|+|(u-v)/2|≤1，即|u+v|+|u-v|≤2。该区域等价于|u|≤1, |v|≤1。因为对于固定u，v的范围是[-(1-|u|), 1-|u|]。所以f_U(u)=∫_{- (1-|u|)}^{1-|u|} (1/4) dv = (1/2)(1-|u|)，|u|≤1。
公式：f_U(u)=∫_{- (1-|u|)}^{1-|u|} (1/4) dv = (1/2)(1-|u|), |u|≤1
提示：注意积分区域：由|u+v|+|u-v|≤2可推出|u|≤1且|v|≤1-|u|。
步骤 3/5
目标：求V的概率密度f_V(v)
由对称性，V=X-Y与U同分布，故f_V(v)=(1/2)(1-|v|), |v|≤1。
公式：f_V(v)=(1/2)(1-|v|), |v|≤1
提示：由于区域D关于直线y=x对称，且变换对称，所以U和V同分布。
步骤 4/5
目标：计算协方差Cov(U,V)
Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)。由对称性，E(U)=0，E(V)=0。E(UV)=E[(X+Y)(X-Y)]=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)。由于区域对称，E(X^2)=E(Y^2)，故E(UV)=0，所以Cov(U,V)=0。
公式：Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=0
提示：利用对称性简化计算，注意E(X^2)=E(Y^2)可由区域关于y=x对称得到。
步骤 5/5
目标：计算相关系数ρ_UV
由于协方差为0，相关系数ρ_UV=Cov(U,V)/√(D(U)D(V))=0。
公式：ρ_UV=0
提示：相关系数为0表明U和V不相关，但注意不相关不一定独立。
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