kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设二维随机变量 $(U, V)$ 在以点 $(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$ 为顶点的四边形区域 $D$ 上噉从均匀分布，令
$$ X=\left\{\begin{array}{ll} -1, & U \leqslant-1, \\ 1, & U>-1, $\displaystyle \end{array} Y= \begin{cases}-1, & V<\frac{1}{2} \\$ 1, & V>\frac{1}{2}\end{cases}\right. $$
（1）求 $(X, Y)$ 的分布律； （2）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ； （3）求 $V$ 的边缘概率密度．
💡 答案解析
**答案**： （1）$(X,Y)$分布律：$\displaystyle P(X=-1,Y=-1)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(X=-1,Y=1)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(X=1,Y=-1)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}$ （2）$\rho_{XY}=0$ （3）$\displaystyle f_V(v)=\begin{cases}\frac{1}{2}(1-|v|), & |v|\leqslant1 \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$ **解析**： 步骤1：四边形顶点$(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1)$，面积$S=4$，联合密度$\displaystyle f(u,v)=\frac{1}{4}$。根据$U,V$范围划分区域求概率。 步骤2：$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$E(XY)=0$，故$\rho_{XY}=0$。 步骤3：$V$的边缘密度通过积分$f_V(v)=\int f(u,v)du$得到。 **难度**：★★★★☆