kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设事件 $A, B$ 满足 $\displaystyle P(A \mid B)=P(B \mid A)=\frac{1}{3}, P(A-B)=\frac{1}{6}$ ，则 $P(\bar{A} \bar{B})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1}{3}$，$\displaystyle P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{3}$，得$P(A)=P(B)$。 步骤2：$\displaystyle P(A-B)=P(A)-P(AB)=\frac{1}{6}$，代入$\displaystyle P(AB)=\frac{1}{3}P(A)$，得$\displaystyle P(A)-\frac{1}{3}P(A)=\frac{2}{3}P(A)=\frac{1}{6}$，解得$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}$，$\displaystyle P(AB)=\frac{1}{12}$。 步骤3：$\displaystyle P(\bar{A}\bar{B})=1-P(A\cup B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{12})=1-\frac{5}{12}=\frac{7}{12}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由条件概率公式得到P(A)=P(B)
由P(A|B)=P(AB)/P(B)=1/3，P(B|A)=P(AB)/P(A)=1/3，得P(AB)=P(B)/3且P(AB)=P(A)/3，所以P(A)=P(B)。
公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)，P(B|A)=P(AB)/P(A)
提示：条件概率公式中分母不为0。
步骤 2/3
目标：利用P(A-B)求出P(A)和P(AB)
P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/6，代入P(AB)=P(A)/3，得P(A)-P(A)/3=2P(A)/3=1/6，解得P(A)=1/4，P(AB)=1/12。
公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)
提示：注意事件差与概率的关系。
步骤 3/3
目标：计算P(¬A¬B)
P(¬A¬B)=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-(1/4+1/4-1/12)=1-5/12=7/12。
公式：P(¬A¬B)=1-P(A∪B)，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
提示：利用德摩根律。
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