kaoyan1basic 概率论与数理统计 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的方差存在，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ ． （A）不相关的充分非必要条件 （B）不相关的充分必要条件 （C）独立的充分非必要条件 （D）独立的充分必要条件
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$，若$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$，则$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，即$X$和$Y$不相关。 步骤2：反之，若$X$和$Y$不相关，则$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，代入得$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。因此是充分必要条件。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：推导方差公式
根据方差的性质，有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)。
公式：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
提示：注意协方差项的存在。
步骤 2/4
目标：判断充分性
若 D(X+Y)=D(X)+D(Y)，则代入公式得 2Cov(X,Y)=0，即 Cov(X,Y)=0，所以 X 和 Y 不相关。
提示：协方差为零即不相关。
步骤 3/4
目标：判断必要性
若 X 和 Y 不相关，则 Cov(X,Y)=0，代入方差公式得 D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
提示：不相关等价于协方差为零。
步骤 4/4
目标：总结关系
因此 D(X+Y)=D(X)+D(Y) 是 X 和 Y 不相关的充分必要条件。
提示：注意独立一定不相关，但不相关不一定独立。
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