kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 。将试验 $E$独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 ）． （A）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle -\frac{1}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由题意，$X$和$Y$服从多项分布，$(X,Y)$的联合分布为$\displaystyle P(X=i,Y=j)=\frac{2!}{i!j!(2-i-j)!}\left(\frac13\right)^2$，其中$i,j=0,1,2$且$i+j\le2$。 步骤2：计算$\displaystyle E(X)=\frac23$，$\displaystyle E(Y)=\frac23$，$\displaystyle D(X)=\frac49$，$\displaystyle D(Y)=\frac49$，$\displaystyle E(XY)=\frac29$，则$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac29-\frac49=-\frac29$。 步骤3：相关系数$\displaystyle \rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{-\frac29}{\frac49}=-\frac12$。 **难度**：★★☆☆☆