kaoyan1basic 概率论与数理统计 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．已知随机变量 $X \sim U(0,4)$ ，实数 $c \in[0,4]$ ，且 $X$ 与 $|X-c|$ 不相关，则 $c=$ ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X\sim U(0,4)$，则$E(X)=2$，$\displaystyle D(X)=\frac{4}{3}$。 步骤2：$X$与$|X-c|$不相关，即$\operatorname{Cov}(X,|X-c|)=0$，等价于$E(X|X-c|)=E(X)E(|X-c|)$。 步骤3：计算$\displaystyle E(X|X-c|)=\int_0^4 x|x-c|\cdot\frac14dx$，$\displaystyle E(|X-c|)=\int_0^4|x-c|\cdot\frac14dx$。代入$c=2$时，由对称性，$E(X|X-c|)=2E(|X-c|)$，满足条件。验证其他值不成立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定随机变量X的分布参数
X服从区间[0,4]上的均匀分布，因此期望E(X)=2，方差D(X)=4/3。
公式：E(X) = (a+b)/2 = 2, D(X) = (b-a)^2/12 = 4/3
提示：均匀分布的期望和方差公式需牢记。
步骤 2/3
目标：将不相关条件转化为协方差或期望等式
X与|X-c|不相关，即协方差Cov(X,|X-c|)=0，等价于E(X|X-c|)=E(X)E(|X-c|)。
公式：Cov(X,Y)=0 ⇔ E(XY)=E(X)E(Y)
提示：不相关意味着协方差为零，注意与独立性的区别。
步骤 3/3
目标：计算期望并代入选项验证
计算E(X|X-c|)=∫_0^4 x|x-c|·(1/4)dx，E(|X-c|)=∫_0^4 |x-c|·(1/4)dx。代入c=2时，由对称性，E(X|X-c|)=2E(|X-c|)，满足条件。验证其他选项不成立。
公式：E(g(X)) = ∫ g(x)f(x)dx
提示：利用对称性可简化计算，c=2时分布关于x=2对称。
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