kaoyan1basic 概率论与数理统计 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设随机变量 $X, Y$ 独立同分布于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right), Z_{1}=X Y, Z_{2}=\frac{X}{Y}$ ，则 ． （A）$X, Y, Z_{1}$ 相互独立 （B）$Y, Z_{1}, Z_{2}$ 相互独立 （C）$X, Z_{1}, Z_{2}$ 两两独立 （D）$X, Y, Z_{2}$ 不相互独立
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$X,Y$独立同分布，$\displaystyle P(X=-1)=P(X=1)=\frac12$。 步骤2：$Z_1=XY$，$\displaystyle Z_2=\frac{X}{Y}$，由于$Y$可能为0？但分布中$Y$取$\pm1$，故$Z_2$有意义。计算得$Z_1$和$Z_2$均与$X,Y$有关。 步骤3：例如$\displaystyle P(X=1,Y=1,Z_2=1)=\frac14$，但$\displaystyle P(X=1)P(Y=1)P(Z_2=1)=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18\neq\frac14$，故$X,Y,Z_2$不相互独立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X和Y的分布
随机变量X和Y独立同分布，分布列为P(X=-1)=1/2，P(X=1)=1/2，Y同理。
提示：注意分布列中-1和1的概率各为1/2。
步骤 2/3
目标：计算Z1和Z2的可能取值
Z1=XY，由于X和Y只能取±1，乘积只能取-1或1。Z2=X/Y，同样只能取-1或1。
提示：Y不可能为0，所以Z2有意义。
步骤 3/3
目标：验证选项D：X,Y,Z2不相互独立
计算P(X=1,Y=1,Z2=1)。当X=1,Y=1时，Z2=1，所以概率为P(X=1,Y=1)=1/4。而P(X=1)=1/2，P(Y=1)=1/2，P(Z2=1)=1/2（因为Z2与X同号，概率为1/2），乘积为1/8。由于1/4≠1/8，所以X,Y,Z2不相互独立。
提示：相互独立要求所有联合概率等于边缘概率乘积。
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