kaoyan1basic 概率论与数理统计 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$ ，如果 $D(X+Y)=D(X-Y)$ ，则 ． （A）$X$ 和 $Y$ 相互独立 （B）$D(X Y)=D(X) D(Y)$ （C）$X$ 和 $Y$ 相关 （D）$E(X Y)=E(X) E(Y)$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$，$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y)$。 步骤2：由$D(X+Y)=D(X-Y)$得$2\operatorname{Cov}(X,Y)=-2\operatorname{Cov}(X,Y)$，即$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。 步骤3：$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$，故$E(XY)=E(X)E(Y)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：展开方差公式
利用方差的性质，将D(X+Y)和D(X-Y)展开为D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)。
公式：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
提示：注意协方差项的正负号。
步骤 2/4
目标：利用条件建立方程
由D(X+Y)=D(X-Y)代入展开式，得到D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)。
提示：两边消去相同项。
步骤 3/4
目标：求解协方差
化简方程得2Cov(X,Y)=-2Cov(X,Y)，移项得4Cov(X,Y)=0，故Cov(X,Y)=0。
提示：注意移项时符号变化。
步骤 4/4
目标：转化为期望关系
由协方差定义Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0，得E(XY)=E(X)E(Y)。
公式：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
提示：协方差为零不一定独立，但期望乘积等于乘积期望。
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