kaoyan1basic 概率论与数理统计 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（填空题） 16．设随机变量 $X, Y$ 均服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且 $\displaystyle \rho_{X Y}=-\frac{1}{2}, U=2 X+Y$ ，则 $U$ 与 $X$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ **解析**： 步骤1：$X,Y\sim P(\lambda)$，则$E(X)=E(Y)=\lambda$，$D(X)=D(Y)=\lambda$，$\displaystyle \operatorname{Cov}(X,Y)=\rho_{XY}\sqrt{D(X)D(Y)}=-\frac12\lambda$。 步骤2：$U=2X+Y$，则$\displaystyle \operatorname{Cov}(U,X)=\operatorname{Cov}(2X+Y,X)=2D(X)+\operatorname{Cov}(Y,X)=2\lambda-\frac12\lambda=\frac32\lambda$。 步骤3：$D(U)=D(2X+Y)=4D(X)+D(Y)+4\operatorname{Cov}(X,Y)=4\lambda+\lambda-2\lambda=3\lambda$，$D(X)=\lambda$。 步骤4：相关系数$\displaystyle \rho_{UX}=\frac{\operatorname{Cov}(U,X)}{\sqrt{D(U)D(X)}}=\frac{\frac32\lambda}{\sqrt{3\lambda\cdot\lambda}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 **难度**：★★☆☆☆