kaoyan1basic 概率论与数理统计 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且服从相同的分布，$X \sim\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ p & q\end{array}\right), p+q=1,0 $$ Z= \begin{cases}1, & X+Y \text { 为奇数, } \\ 0, & X+Y \text { 为偶数. }\end{cases} $$ （1）求 $X Z$ 的分布律； （2）$p$ 取何值时，$X$ 和 $Z$ 相关？说明理由。
💡 答案解析
**答案**：（1）$XZ$的分布律为$P(XZ=0)=1-p^2$，$P(XZ=1)=p^2$；（2）$\displaystyle p\neq\frac12$时相关 **解析**： （1）步骤1：$X,Y$独立同分布，$P(X=0)=p$，$P(X=1)=q=1-p$。$Z=1$当$X+Y$为奇数，即$(X,Y)=(0,1)$或$(1,0)$，概率$2pq$；$Z=0$当$X+Y$为偶数，概率$p^2+q^2$。 步骤2：$XZ$的可能取值为0和1。$P(XZ=1)=P(X=1,Z=1)=P(X=1,Y=0)=p q$，但注意$XZ=1$时$X=1$且$Z=1$，即$(1,0)$，概率$pq$。但题目中$p+q=1$，$p$为$X=0$的概率？原分布$X\sim\begin{pmatrix}0&1\\p&q\end{pmatrix}$，故$P(X=0)=p$，$P(X=1)=q$。则$P(XZ=1)=P(X=1,Z=1)=P(X=1,Y=0)=q\cdot p=pq$。$P(XZ=0)=1-pq$。 （2）步骤1：$E(X)=q$，$E(Z)=2pq$，$E(XZ)=P(X=1,Z=1)=pq$。 步骤2：$\operatorname{Cov}(X,Z)=E(XZ)-E(X)E(Z)=pq-q\cdot2pq=pq(1-2q)=pq(2p-1)$。 步骤3：$X$和$Z$相关当且仅当$\operatorname{Cov}(X,Z)\neq0$，即$\displaystyle p\neq\frac12$。 **难度**：★★★☆☆