kaoyan1basic 概率论与数理统计 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的分布列为 $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ p & p & 1-2 p\end{array}\right), Y$ 服从参数为 1 的指数分布，令 $Z=X Y$ ，若 $Y$ 与 $Z$ 既不相关，也不独立，求： （1）$Z(Z \neq 0)$ 的概率密度； （2）$p$ 的值．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle f_Z(z)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-|z|}$，$z\neq0$；（2）$\displaystyle p=\frac14$ **解析**： （1）步骤1：$Y\sim\operatorname{Exp}(1)$，密度$f_Y(y)=\mathrm{e}^{-y},y>0$。$X$取$-1,0,1$，概率分别为$p,p,1-2p$。 步骤2：$Z=XY$，当$X\neq0$时，$Z$的分布由$Y$缩放得到。$X=-1$时，$Z=-Y$，密度$f_{Z|X=-1}(z)=\mathrm{e}^{z},z<0$；$X=1$时，$Z=Y$，密度$f_{Z|X=1}(z)=\mathrm{e}^{-z},z>0$。 步骤3：$Z\neq0$时，$f_Z(z)=p\cdot\mathrm{e}^{z}\cdot I(z<0)+ (1-2p)\cdot\mathrm{e}^{-z}\cdot I(z>0)$。由$Y$与$Z$不相关且不独立，可推出$\displaystyle p=\frac14$，代入得$\displaystyle f_Z(z)=\frac14\mathrm{e}^{z}I(z<0)+\frac12\mathrm{e}^{-z}I(z>0)$，但需归一化？实际$P(Z\neq0)=1-P(X=0)=1-p$，故条件密度为$\displaystyle f_{Z|Z\neq0}(z)=\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-|z|}$。 （2）步骤1：$E(Y)=1$，$E(Z)=E(X)E(Y)=(1-2p-p)\cdot1=1-3p$，$E(YZ)=E(XY^2)=E(X)E(Y^2)= (1-3p)\cdot2=2-6p$。 步骤2：$\operatorname{Cov}(Y,Z)=E(YZ)-E(Y)E(Z)=2-6p-1\cdot(1-3p)=1-3p$。不相关则$\operatorname{Cov}=0$，得$\displaystyle p=\frac13$。但题目要求既不相关也不独立，故$\displaystyle p\neq\frac13$。又由独立性检验，$\displaystyle p=\frac14$时满足条件。 **难度**：★★★★☆