kaoyan1basic 概率论与数理统计 第19题
📝 题目
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设随机变量 $X$ 利 $Y$ 的联合概率分布为
| $X$ | -1 | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0.07 | 0.18 | 0.15 | | 1 | 0.08 | 0.32 | 0.2 |
（1）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ ； （2）求 $X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(X^{2}, Y^{2}\right)$ ； （3）问 $X$ 和 $Y$ 以及 $X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 是否相关？是否独立？
## 第4章 多维随机变量及其分布
💡 答案解析
**答案**：（1）$\rho=0$；（2）$\operatorname{Cov}(X^2,Y^2)=0.0192$；（3）$X$与$Y$不相关但独立？$X^2$与$Y^2$相关 **解析**： （1）步骤1：由联合分布计算边缘分布：$P(X=0)=0.07+0.18+0.15=0.4$，$P(X=1)=0.08+0.32+0.2=0.6$；$P(Y=-1)=0.07+0.08=0.15$，$P(Y=0)=0.18+0.32=0.5$，$P(Y=1)=0.15+0.2=0.35$。 步骤2：$E(X)=0.6$，$E(Y)=0.35-0.15=0.2$，$E(XY)=0\cdot(-1)\cdot0.07+0\cdot0\cdot0.18+0\cdot1\cdot0.15+1\cdot(-1)\cdot0.08+1\cdot0\cdot0.32+1\cdot1\cdot0.2=-0.08+0.2=0.12$。 步骤3：$\operatorname{Cov}(X,Y)=0.12-0.6\times0.2=0$，故$\rho=0$。 （2）步骤1：$X^2$取值0和1，$Y^2$取值0和1。$P(X^2=0)=0.4$，$P(X^2=1)=0.6$；$P(Y^2=0)=0.5$，$P(Y^2=1)=0.5$。 步骤2：$E(X^2)=0.6$，$E(Y^2)=0.5$，$E(X^2Y^2)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=0.2+0.08=0.28$。 步骤3：$\operatorname{Cov}(X^2,Y^2)=0.28-0.6\times0.5=-0.02$。 （3）步骤1：$X$与$Y$相关系数为0，但不独立（例如$P(X=0,Y=-1)=0.07\neq0.4\times0.15$）。 步骤2：$X^2$与$Y^2$协方差非零，故相关。 **难度**：★★★☆☆