kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（解答题） 3．假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$G(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的均匀分布函数，求随机变量 $Y=G(X)$ 的分布函数 $H(y)$ 。
💡 答案解析
**答案**：$H(y)=\begin{cases}0, & y<0 \\ y, & 0\le y<1 \\ 1, & y\ge1\end{cases}$ **解析**： $X\sim E(\lambda)$，分布函数$F_X(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}$。$G(x)$为$[0,1]$均匀分布函数，即$G(x)=x$（$0\le x\le1$）。 $Y=G(X)=X$，但$X$取值非负，故$Y$实际为$X$截断在$[0,1]$？注意$G(x)$定义域为$[0,1]$，而$X$可能大于1，此时$G(X)$无定义？题目隐含$G(x)$是$[0,1]$上均匀分布的分布函数，即$G(x)=x$（$0\le x\le1$），且$G(x)=0$（$x<0$），$G(x)=1$（$x>1$）。故$Y=G(X)$取值在$[0,1]$。 $H(y)=P(Y\le y)=P(G(X)\le y)$。当$y<0$时，$H(y)=0$；当$0\le y<1$时，$H(y)=P(X\le y)=1-\mathrm{e}^{-\lambda y}$；当$y\ge1$时，$H(y)=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其分布函数为F_X(x)=1-e^{-λx}（x≥0）。G(x)是区间[0,1]上的均匀分布函数，即G(x)=0（x<0），G(x)=x（0≤x≤1），G(x)=1（x>1）。
公式：F_X(x)=1-e^{-λx} (x≥0)
提示：注意G(x)是分段函数，定义域为全体实数。
步骤 2/4
目标：确定Y=G(X)的取值
由于X≥0，当0≤X≤1时，Y=X；当X>1时，Y=1；X<0不可能。因此Y的取值范围为[0,1]。
提示：Y是X通过G映射后的结果，注意分段处理。
步骤 3/4
目标：求Y的分布函数H(y)=P(Y≤y)
分情况讨论：
- 当y<0时，{Y≤y}是不可能事件，H(y)=0。
- 当0≤y<1时，{Y≤y}={X≤y}（因为此时Y=X），故H(y)=P(X≤y)=1-e^{-λy}。
- 当y≥1时，{Y≤y}是必然事件，H(y)=1。
公式：H(y)=P(Y≤y)=P(G(X)≤y)
提示：注意在0≤y<1时，G(X)≤y等价于X≤y，因为G是单调递增的。
步骤 4/4
目标：写出最终分布函数
H(y)=0, y<0; H(y)=1-e^{-λy}, 0≤y<1; H(y)=1, y≥1。
提示：检查端点连续性：在y=0处，H(0)=0；在y=1处，H(1)=1。
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