kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．将长度为 1 的铁丝沿其上任一点折成两段，较短的一段长度记为 $X$ ，并以这两段作为矩形的两条边，记矩形面积为 $Z$ ，求： （1）$X$ 的概率密度； （2）$E(Z)$ ．
## 第4章 随机变量的数字特征
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle f_X(x)=\begin{cases}2, & 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求X的概率密度
设折点位置U服从(0,1)上的均匀分布，即U~U(0,1)。较短的一段长度X=min(U,1-U)。先求X的分布函数F_X(x)=P(X≤x)=P(min(U,1-U)≤x)=1-P(min(U,1-U)>x)=1-P(U>x,1-U>x)=1-P(x
公式：F_X(x)=P(X≤x)=1-P(U>x,1-U>x)=1-(1-2x)=2x, 0
提示：注意X的取值范围是(0,1/2)，因为较短段长度不超过一半。
步骤 2/2
目标：求矩形面积Z的期望E(Z)
矩形两边长分别为X和1-X，面积Z=X(1-X)=X-X^2。由期望线性性质，E(Z)=E(X)-E(X^2)。计算E(X)=∫_{0}^{1/2} x·2 dx = 2·(1/2)x^2|_{0}^{1/2}=2·(1/8)=1/4。计算E(X^2)=∫_{0}^{1/2} x^2·2 dx = 2·(1/3)x^3|_{0}^{1/2}=2·(1/24)=1/12。所以E(Z)=1/4-1/12=3/12-1/12=2/12=1/6。
公式：E(Z)=E(X-X^2)=E(X)-E(X^2); E(X)=∫ x f_X(x) dx; E(X^2)=∫ x^2 f_X(x) dx
提示：注意积分限为0到1/2，且f_X(x)=2。
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