kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设随机变量 $X \sim E(1)$ ，记 $Y=\max \{X, 1\}$ ，则 $E(Y)=(\quad)$ 。 （A） 1 （B） $1-\mathrm{e}^{-1}$ （C） $1+\mathrm{e}^{-1}$ （D） $\mathrm{e}^{-1}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： $X\sim E(1)$，$Y=\max\{X,1\}$。$E(Y)=\int_0^{+\infty}\max\{x,1\}\mathrm{e}^{-x}dx=\int_0^1 1\cdot\mathrm{e}^{-x}dx+\int_1^{+\infty}x\mathrm{e}^{-x}dx=1-\mathrm{e}^{-1}+2\mathrm{e}^{-1}=1+\mathrm{e}^{-1}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定随机变量Y的表达式
已知X服从参数为1的指数分布，即X~E(1)，概率密度函数为f(x)=e^{-x}，x≥0。Y定义为Y=max{X,1}。
公式：f(x)=e^{-x}, x≥0
提示：指数分布的概率密度函数形式
步骤 2/6
目标：写出期望E(Y)的积分表达式
由于Y是X的函数，E(Y)=∫_0^∞ max{x,1} e^{-x} dx。
公式：E(Y)=∫_0^∞ max{x,1} e^{-x} dx
提示：连续随机变量函数的期望公式
步骤 3/6
目标：分段处理积分
将积分区间分为[0,1]和[1,∞)。在[0,1]上，max{x,1}=1；在[1,∞)上，max{x,1}=x。所以E(Y)=∫_0^1 1·e^{-x} dx + ∫_1^∞ x e^{-x} dx。
公式：E(Y)=∫_0^1 e^{-x} dx + ∫_1^∞ x e^{-x} dx
提示：分段处理最大值函数
步骤 4/6
目标：计算第一部分积分
∫_0^1 e^{-x} dx = [-e^{-x}]_0^1 = 1 - e^{-1}。
公式：∫ e^{-x} dx = -e^{-x}
提示：基本积分公式
步骤 5/6
目标：计算第二部分积分
∫_1^∞ x e^{-x} dx，使用分部积分法：令u=x, dv=e^{-x}dx，则du=dx, v=-e^{-x}。所以∫ x e^{-x} dx = -x e^{-x} - ∫ -e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C。代入上下限：lim_{b→∞} [-x e^{-x} - e^{-x}]_1^b = (0-0) - (-1·e^{-1} - e^{-1}) = 2e^{-1}。
公式：∫ x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C
提示：分部积分法
步骤 6/6
目标：求和得到期望值
E(Y) = (1 - e^{-1}) + 2e^{-1} = 1 + e^{-1}。
提示：合并同类项
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