kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $\displaystyle P[A \mid(A \cup B C)]=\frac{1}{2}, ~ P(B)=P(C)=\frac{1}{2}$ ，其中 $A, B$ 互不相容，$B, C$ 相互独立，则 $P(A)=$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （B）$\displaystyle \frac{3}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D） 1
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$A,B$互不相容，故$P(AB)=0$；$B,C$相互独立，故$\displaystyle P(BC)=P(B)P(C)=\frac{1}{4}$。 步骤2：$\displaystyle P(A\mid A\cup BC)=\frac{P(A)}{P(A\cup BC)}=\frac{1}{2}$，且$\displaystyle P(A\cup BC)=P(A)+P(BC)-P(ABC)=P(A)+\frac{1}{4}$（因$A$与$BC$不相容）。 步骤3：代入得$\displaystyle \frac{P(A)}{P(A)+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$，解得$\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知条件计算相关概率
由A,B互不相容得P(AB)=0；由B,C相互独立得P(BC)=P(B)P(C)=1/2 * 1/2 = 1/4。
公式：P(AB)=0; P(BC)=P(B)P(C)
提示：互不相容即交集概率为0；独立则乘积等于联合概率。
步骤 2/3
目标：写出条件概率公式并化简
P(A|A∪BC)=P(A)/P(A∪BC)=1/2。由于A与BC互不相容（因为A与B互不相容，而BC⊆B，所以A与BC无交集），故P(A∪BC)=P(A)+P(BC)-P(ABC)=P(A)+1/4。
公式：P(A|A∪BC)=P(A)/P(A∪BC); P(A∪BC)=P(A)+P(BC) (因A与BC互斥)
提示：注意验证A与BC互斥：由A与B互斥，且BC⊆B，故A∩BC=∅。
步骤 3/3
目标：代入求解P(A)
代入得 P(A) / (P(A)+1/4) = 1/2，解得 P(A)=1/4。
公式：P(A)/(P(A)+1/4)=1/2 ⇒ 2P(A)=P(A)+1/4 ⇒ P(A)=1/4
提示：解方程时注意移项。
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