kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．设 $A, B, C$ 是 3 个随机事件，其中 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互不相容，$\displaystyle P(A)=\frac{1}{2}, P(B)=\frac{1}{3}$ ， $\displaystyle P(C)=\frac{1}{4}, P(B \mid C)=\frac{1}{8}$ ，则 $P(C \mid A \cup B)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{7}$ **解析**： 步骤1：$A$与$C$互不相容，故$P(AC)=0$；$\displaystyle P(B\mid C)=\frac{P(BC)}{P(C)}=\frac{1}{8}$，得$\displaystyle P(BC)=\frac{1}{32}$。 步骤2：$\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$。 步骤3：$\displaystyle P(C(A\cup B))=P(CA\cup CB)=P(CA)+P(CB)-P(CAB)=0+\frac{1}{32}-0=\frac{1}{32}$。 步骤4：$\displaystyle P(C\mid A\cup B)=\frac{P(C(A\cup B))}{P(A\cup B)}=\frac{1/32}{2/3}=\frac{3}{64}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算P(AC)和P(BC)
由于A与C互不相容，所以P(AC)=0。由P(B|C)=P(BC)/P(C)=1/8，且P(C)=1/4，得P(BC)=1/32。
公式：P(B|C)=P(BC)/P(C)
提示：互不相容即交集概率为0。
步骤 2/4
目标：计算P(A∪B)
A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=1/2 * 1/3 = 1/6。则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/6=2/3。
公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)；独立事件P(AB)=P(A)P(B)
提示：注意独立条件。
步骤 3/4
目标：计算P(C(A∪B))
P(C(A∪B))=P(CA∪CB)=P(CA)+P(CB)-P(CAB)。由于A与C互不相容，P(CA)=0；且CAB⊆CA，故P(CAB)=0。所以P(C(A∪B))=0+1/32-0=1/32。
公式：P(C(A∪B))=P(CA)+P(CB)-P(CAB)
提示：利用互不相容简化。
步骤 4/4
目标：计算条件概率P(C|A∪B)
P(C|A∪B)=P(C(A∪B))/P(A∪B)=(1/32)/(2/3)=3/64。
公式：P(C|A∪B)=P(C(A∪B))/P(A∪B)
提示：条件概率定义。
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