kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．对于下列命题： （1）若事件 $A, B$ 相互独立，且 $B, C$ 相互独立，则 $A, C$ 相互独立； （2）若事件 $A, B$ 相互独立，且 $C \subset A, D \subset B$ ，则 $C, D$ 相互独立．说法正确的是（ ）． （A）（1）正确，（2）不正确 （B）（2）正确，（1）不正确 （C）（1）（2）都正确 （D）（1）（2）都不正确
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：命题（1）错误，反例：设$A$与$B$独立，$B$与$C$独立，但$A$与$C$不一定独立。 步骤2：命题（2）错误，反例：$C\subset A$，$D\subset B$，即使$A,B$独立，$C,D$不一定独立。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断命题（1）的正确性
命题（1）声称若A与B独立，B与C独立，则A与C独立。但独立性不具有传递性，反例：设样本空间Ω={1,2,3,4}，等可能。令A={1,2}，B={1,3}，C={1,4}。则P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=1/4，P(BC)=1/4，故A与B独立，B与C独立。但P(AC)=1/4，P(A)P(C)=1/4，实际上A与C也独立？此反例不成立。需构造反例：设Ω={1,2,3,4}，等可能。令A={1,2}，B={1,3}，C={2,3}。则P(A)=P(B)=P(C)=1/2，P(AB)=1/4，P(BC)=1/4，但P(AC)=0，P(A)P(C)=1/4，故A与C不独立。因此命题（1）错误。
公式：P(AB)=P(A)P(B) 定义独立性
提示：独立性不传递，需构造反例
步骤 2/2
目标：判断命题（2）的正确性
命题（2）声称若A与B独立，且C⊂A，D⊂B，则C与D独立。反例：设Ω={1,2,3,4}，等可能。令A={1,2,3}，B={1,2,4}，则P(A)=3/4，P(B)=3/4，P(AB)=2/4=1/2，而P(A)P(B)=9/16≠1/2，故A与B不独立。需构造A与B独立的情况：设Ω={1,2,3,4}，等可能。令A={1,2}，B={1,3}，则A与B独立。取C={1}⊂A，D={1}⊂B，则P(C)=1/4，P(D)=1/4，P(CD)=1/4，而P(C)P(D)=1/16，故C与D不独立。因此命题（2）错误。
公式：P(CD)=P(C)P(D) 定义独立性
提示：子事件不一定保持独立性
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