kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有 $25 \%$ 不合格，从这两批产品中任取 1 只，经检验是合格品，放回原处，并从原所在批次中再取 1 只，则这只产品是不合格品的概率为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{8}$ **解析**：步骤1：设事件$A$表示“第一次取到合格品”，$B$表示“第二次取到不合格品”，$C_1$表示“取到全部合格的一批”，$C_2$表示“取到有25%不合格的一批”。则$\displaystyle P(C_1)=P(C_2)=\frac{1}{2}$。 步骤2：由全概率公式，$\displaystyle P(A)=P(A|C_1)P(C_1)+P(A|C_2)P(C_2)=1\times\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{8}$。 步骤3：由贝叶斯公式，$\displaystyle P(C_1|A)=\frac{P(A|C_1)P(C_1)}{P(A)}=\frac{1\times\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}}=\frac{4}{7}$，$\displaystyle P(C_2|A)=\frac{3}{7}$。 步骤4：第二次取到不合格品的概率为$\displaystyle P(B|A)=P(B|C_1,A)P(C_1|A)+P(B|C_2,A)P(C_2|A)=0\times\frac{4}{7}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{7}=\frac{3}{28}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：定义事件和已知概率
设事件A表示“第一次取到合格品”，B表示“第二次取到不合格品”，C1表示“取到全部合格的一批”，C2表示“取到有25%不合格的一批”。则P(C1)=P(C2)=1/2。
公式：P(C1)=P(C2)=1/2
提示：注意两批数量相同，所以先验概率相等。
步骤 2/4
目标：计算第一次取到合格品的概率P(A)
由全概率公式，P(A)=P(A|C1)P(C1)+P(A|C2)P(C2)=1*(1/2)+(3/4)*(1/2)=7/8。
公式：P(A)=P(A|C1)P(C1)+P(A|C2)P(C2)
提示：P(A|C1)=1，P(A|C2)=3/4。
步骤 3/4
目标：计算在第一次取到合格品的条件下，来自各批的后验概率
由贝叶斯公式，P(C1|A)=P(A|C1)P(C1)/P(A)=(1*1/2)/(7/8)=4/7，P(C2|A)=1-4/7=3/7。
公式：P(C1|A)=P(A|C1)P(C1)/P(A)
提示：注意后验概率之和为1。
步骤 4/4
目标：计算第二次取到不合格品的概率P(B|A)
P(B|A)=P(B|C1,A)P(C1|A)+P(B|C2,A)P(C2|A)=0*(4/7)+(1/4)*(3/7)=3/28。
公式：P(B|A)=P(B|C1,A)P(C1|A)+P(B|C2,A)P(C2|A)
提示：在C1下第二次取到不合格品概率为0，在C2下为1/4。
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