kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $X, Y$ 为随机变量，且 $\displaystyle P\{X \geqslant 0, Y \geqslant 0\}=\frac{3}{7}, P\{X \geqslant 0\}=P\{Y \geqslant 0\}=\frac{4}{7}$ ，求下列事件的概率：（1）$A=\{\max \{X, Y\} \geqslant 0\}$ ；（2）$B=\{\max \{X, Y\} \geqslant 0, \min \{X, Y\}<0\}$ ．
## 第2章 一维随机变量及其分布
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{5}{7}$；（2）$\displaystyle \frac{2}{7}$ **解析**：步骤1：由概率性质，$\displaystyle P\{X\geq0\cup Y\geq0\}=P\{X\geq0\}+P\{Y\geq0\}-P\{X\geq0,Y\geq0\}=\frac{4}{7}+\frac{4}{7}-\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$。 步骤2：事件$A=\{\max\{X,Y\}\geq0\}$等价于$\{X\geq0\cup Y\geq0\}$，故$\displaystyle P(A)=\frac{5}{7}$。 步骤3：事件$B=\{\max\{X,Y\}\geq0,\min\{X,Y\}<0\}$表示至少一个非负且至少一个为负，即恰好一个非负一个为负。其概率为$P\{X\geq0,Y<0\}+P\{X<0,Y\geq0\}$。 步骤4：$\displaystyle P\{X\geq0,Y<0\}=P\{X\geq0\}-P\{X\geq0,Y\geq0\}=\frac{4}{7}-\frac{3}{7}=\frac{1}{7}$，同理$\displaystyle P\{X<0,Y\geq0\}=\frac{1}{7}$，故$\displaystyle P(B)=\frac{2}{7}$。 **难度**：★★★☆☆