kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $X \sim N(0,1), Y=X+|X|$ ，则 $P\{Y>1\}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ （B） $\displaystyle 1-\Phi\left(\frac{1}{2}\right)$ （C）$\Phi(1)$ （D） $1-\Phi(1)$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$Y=X+|X|$，当$X\leq0$时，$Y=0$；当$X>0$时，$Y=2X$。 步骤2：$\displaystyle P\{Y>1\}=P\{2X>1,X>0\}=P\{X>\frac{1}{2}\}=1-\Phi(\frac{1}{2})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析随机变量Y的表达式
由Y=X+|X|，当X≤0时，|X|=-X，故Y=0；当X>0时，|X|=X，故Y=2X。
公式：Y = { 0, X≤0; 2X, X>0 }
提示：注意分段处理绝对值
步骤 2/3
目标：将事件{Y>1}转化为关于X的事件
由于Y只在X>0时非零，且此时Y=2X，故{Y>1}等价于{2X>1, X>0}，即{X>1/2}。
公式：P{Y>1} = P{2X>1, X>0} = P{X>1/2}
提示：注意X>0的条件
步骤 3/3
目标：利用标准正态分布计算概率
X~N(0,1)，故P{X>1/2}=1-Φ(1/2)。
公式：P{X>1/2} = 1 - Φ(1/2)
提示：标准正态分布函数Φ(x)=P{X≤x}
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