kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，$p_{1}, p_{2}, p_{3}$ 分别是 $X$ 取整数、偶数与奇数的概丰，则（ ． （A）$p_{1}=p_{2}=p_{3}$ （B）$p_{1}=p_{2}>p_{3}$ （C）$p_{1}>p_{2}>p_{3}$ （D）$p_{1}>p_{2}=p_{3}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$X$服从泊松分布$P(\lambda)$，$p_1=P\{X=0\}=e^{-\lambda}$。 步骤2：$\displaystyle p_2=P\{X为偶数\}=\frac{1}{2}(1+e^{-2\lambda})$，$\displaystyle p_3=P\{X为奇数\}=\frac{1}{2}(1-e^{-2\lambda})$。 步骤3：由于$\lambda>0$，$\displaystyle e^{-\lambda}>\frac{1}{2}$，且$p_2>p_3$，故$p_1>p_2>p_3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算p1
X服从参数为λ的泊松分布，p1 = P{X=0} = e^{-λ}。
公式：P{X=k} = e^{-λ} λ^k / k!
提示：注意泊松分布的概率质量函数。
步骤 2/3
目标：计算p2和p3
利用泊松分布的概率生成函数或奇偶项求和公式，得到p2 = (1+e^{-2λ})/2，p3 = (1-e^{-2λ})/2。
公式：p2 = (1+e^{-2λ})/2, p3 = (1-e^{-2λ})/2
提示：可通过e^{λ}和e^{-λ}的展开式推导。
步骤 3/3
目标：比较大小
由于λ>0，e^{-λ} > 1/2，且p2 > p3，因此p1 > p2 > p3。
提示：注意e^{-λ}在λ>0时大于0.5。
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