kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(n, \frac{1}{3}\right), Y \sim B\left(2 n, \frac{1}{3}\right)$ ，若 $\displaystyle P\{X \geqslant 1\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{Y \geqslant 1\}=()$ ． （A）$\displaystyle \frac{5}{27}$ （B）$\displaystyle \frac{16}{81}$ （C）$\displaystyle \frac{64}{81}$ （D）$\displaystyle \frac{65}{81}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：由$\displaystyle X\sim B(n,\frac{1}{3})$，$\displaystyle P\{X\geq1\}=1-P\{X=0\}=1-(\frac{2}{3})^n=\frac{5}{9}$，解得$\displaystyle (\frac{2}{3})^n=\frac{4}{9}$，即$n=2$。 步骤2：$\displaystyle Y\sim B(4,\frac{1}{3})$，$\displaystyle P\{Y\geq1\}=1-P\{Y=0\}=1-(\frac{2}{3})^4=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：由X服从二项分布，利用P{X≥1}反解n
已知X~B(n,1/3)，则P{X=0}=(2/3)^n，P{X≥1}=1-P{X=0}=1-(2/3)^n=5/9，解得(2/3)^n=4/9，即n=2。
公式：P{X≥1}=1-P{X=0}=1-(2/3)^n
提示：注意二项分布概率公式P{X=k}=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}，这里k=0时简化为(1-p)^n。
步骤 2/2
目标：计算Y≥1的概率
由n=2得Y~B(4,1/3)，则P{Y=0}=(2/3)^4=16/81，P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-16/81=65/81。
公式：P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)^4
提示：注意Y的参数为2n=4。
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