kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X$ 是随机变量，$s, \iota$ 是正数，$m, n$ 是正整数． （1）若 $X \sim G(p)$ ，则 $P\{X>m+n \mid X>m\}$ 与 $m$ 无关； （2）若 $\displaystyle X \sim P\{X=k\}=\frac{1}{k(k+1)}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X \geqslant 2 n \mid X \geqslant n\}$ 与 $n$ 无关； （3）若 $X \sim E(\lambda)$ ，则 $P\{X>s+t \mid X>s\}$ 与 $s$ 无关； （4）若 $\displaystyle X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}}, & x>1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则当 $t>1$ 时，$P\{X \geqslant 2 t \mid X \geqslant t\}$ 与 $\iota$ 无关．上述结论中正确的个数为 ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：对于(1)，几何分布具有无记忆性，$P\{X>m+n\mid X>m\}=P\{X>n\}$，与$m$无关，正确。 步骤2：对于(2)，$\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{k(k+1)}$，计算$\displaystyle P\{X\geq n\}=\frac{1}{n}$，则$\displaystyle P\{X\geq 2n\mid X\geq n\}=\frac{1/(2n)}{1/n}=\frac{1}{2}$，与$n$无关，正确。 步骤3：对于(3)，指数分布具有无记忆性，$P\{X>s+t\mid X>s\}=P\{X>t\}$，与$s$无关，正确。 步骤4：对于(4)，$\displaystyle P\{X\geq t\}=\int_t^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{t}$，则$\displaystyle P\{X\geq 2t\mid X\geq t\}=\frac{1/(2t)}{1/t}=\frac{1}{2}$，与$t$无关，正确。故4个结论均正确，选C。 **难度**：★★★☆☆