kaoyan1basic 概率论与数理统计 第13题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第13题（解答题） 13．设总体 $X \sim U\left[\theta_{0}, \theta_{0}+\theta\right]$ ，其中 $\theta_{0}$ 是已知常数，$\theta>0$ 是未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，求： （1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{1}$ 及 $E\left(\hat{\theta}_{1}\right)$ ； （2）$\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}_{2}$ 及 $E\left(\hat{\theta}_{2}\right)$ 。

💡 答案解析

**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\theta}_1 = \frac{12}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \theta_0)^2$，$E(\hat{\theta}_1)=\theta^2$；（2）$\hat{\theta}_2 = X_{(n)} - \theta_0$，$\displaystyle E(\hat{\theta}_2)=\frac{n}{n+1}\theta$ **解析**：步骤1：$X \sim U[\theta_0, \theta_0+\theta]$，$\displaystyle E(X)=\theta_0+\frac{\theta}{2}$，$\displaystyle D(X)=\frac{\theta^2}{12}$。由矩估计法，$\displaystyle \bar{X} = \theta_0 + \frac{\hat{\theta}_1}{2}$，解得$\hat{\theta}_1 = 2(\bar{X}-\theta_0)$。$\displaystyle E(\hat{\theta}_1)=2(E(\bar{X})-\theta_0)=2(\theta_0+\frac{\theta}{2}-\theta_0)=\theta$。 步骤2：似然函数$\displaystyle L(\theta)=\frac{1}{\theta^n}$，当$\theta_0 \le X_{(1)}$且$X_{(n)} \le \theta_0+\theta$，即$\theta \ge X_{(n)}-\theta_0$。为使$L$最大，$\theta$取最小值$\hat{\theta}_2 = X_{(n)}-\theta_0$。$X_{(n)}$的密度$\displaystyle f_{X_{(n)}}(x)=\frac{n(x-\theta_0)^{n-1}}{\theta^n}, \theta_0

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求θ的矩估计量
由总体X服从均匀分布U[θ0, θ0+θ]，计算总体均值E(X)=θ0+θ/2。由矩估计法，令样本均值X̄等于总体均值，即X̄=θ0+θ̂1/2，解得θ̂1=2(X̄-θ0)。
公式：E(X)=θ0+θ/2, X̄=θ0+θ̂1/2 ⇒ θ̂1=2(X̄-θ0)
提示：矩估计用样本均值代替总体均值。
步骤 2/4
目标：计算矩估计量的期望
E(θ̂1)=2[E(X̄)-θ0]=2[(θ0+θ/2)-θ0]=θ。注意：答案中给出的E(θ̂1)=θ²有误，应为θ。
公式：E(θ̂1)=θ
提示：期望的线性性质。
步骤 3/4
目标：求θ的最大似然估计量
似然函数L(θ)=1/θ^n，当θ0≤X(1)且X(n)≤θ0+θ，即θ≥X(n)-θ0。为使L最大，θ取最小值，故θ̂2=X(n)-θ0。
公式：L(θ)=1/θ^n, θ≥X(n)-θ0 ⇒ θ̂2=X(n)-θ0
提示：均匀分布的最大似然估计常用次序统计量。
步骤 4/4
目标：计算最大似然估计量的期望
X(n)的密度函数为f(x)=n(x-θ0)^(n-1)/θ^n, θ0
公式：E(θ̂2)=nθ/(n+1)
提示：利用次序统计量的密度积分。

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