kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim U(-2,4), Y \sim\left(\begin{array}{cc}-2 & 2 \\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\end{array}\right)$ ，则 $P\{X Y>2\}=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X\sim U(-2,4)$，密度$\displaystyle f_X(x)=\frac16$，$x\in[-2,4]$。$Y$取-2概率$\displaystyle \frac34$，取2概率$\displaystyle \frac14$。 步骤2：$\displaystyle P(XY>2)=P(Y=-2)P(X<-1)+P(Y=2)P(X>1)=\frac34\cdot\frac{1}{6}+\frac14\cdot\frac{3}{6}=\frac{3}{24}+\frac{3}{24}=\frac14$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定随机变量X和Y的分布
X服从区间[-2,4]上的均匀分布，概率密度函数为f_X(x)=1/6，x∈[-2,4]。Y是离散型随机变量，分布律为P(Y=-2)=3/4，P(Y=2)=1/4。
公式：f_X(x)=1/(b-a)=1/6
提示：均匀分布的概率密度在区间内为常数。
步骤 2/4
目标：利用全概率公式分解事件XY>2
由于X和Y独立，事件XY>2可以按照Y的取值分解：P(XY>2)=P(Y=-2)P(X(-2)>2)+P(Y=2)P(2X>2)=P(Y=-2)P(X<-1)+P(Y=2)P(X>1)。
公式：P(XY>2)=P(Y=-2)P(X<-1)+P(Y=2)P(X>1)
提示：独立条件下，联合概率等于边缘概率乘积。
步骤 3/4
目标：计算P(X<-1)和P(X>1)
对于均匀分布U(-2,4)，区间长度为6。P(X<-1)=(-1-(-2))/6=1/6，P(X>1)=(4-1)/6=3/6=1/2。
公式：P(a
提示：均匀分布的概率等于区间长度之比。
步骤 4/4
目标：代入数值计算最终概率
P(XY>2)=(3/4)*(1/6)+(1/4)*(1/2)=3/24+3/24=6/24=1/4。
公式：无
提示：注意分数约简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。