kaoyan1basic 概率论与数理统计 第16题
📝 题目
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．议总体 $X$ 的概率分布为
| $X$ | 1 | 2 | 8 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $1-\theta$ | $\theta-\theta$ | $\theta^{2}$ |
其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末外。以 $N_{1}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$ ）中等于 $i$ 的个数 （ $i=1,2,3$ ）。求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ，使 $T=\sum_{i=1}^{J} a_{1} N_{1}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方兼。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle a_1=0, a_2=\frac{1}{n}, a_3=\frac{2}{n}$；$\displaystyle D(T)=\frac{\theta(1-\theta)}{n}$ **解析**：步骤1：总体分布$P(X=1)=1-\theta, P(X=2)=\theta-\theta^2, P(X=3)=\theta^2$。$N_1, N_2, N_3$服从多项分布，$E(N_1)=n(1-\theta), E(N_2)=n(\theta-\theta^2), E(N_3)=n\theta^2$。$T=a_1N_1+a_2N_2+a_3N_3$，$E(T)=a_1n(1-\theta)+a_2n(\theta-\theta^2)+a_3n\theta^2 = n[a_1 + (a_2-a_1)\theta + (a_3-a_2)\theta^2]$。要使$T$为$\theta$的无偏估计，即$E(T)=\theta$，则$n a_1=0, n(a_2-a_1)=1, n(a_3-a_2)=0$，解得$\displaystyle a_1=0, a_2=\frac{1}{n}, a_3=\frac{1}{n}$。 步骤2：$\displaystyle T=\frac{1}{n}(N_2+N_3)=\frac{1}{n}(n-N_1)$，$N_1\sim B(n,1-\theta)$，$D(N_1)=n(1-\theta)\theta$，$\displaystyle D(T)=\frac{1}{n^2}D(N_1)=\frac{\theta(1-\theta)}{n}$。 **难度**：★★★☆☆