kaoyan1basic 概率论与数理统计 第15题
📝 题目
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$ ，其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma>0$ 。记 $Z=X-Y$ 。 （1）求 $Z$ 的概準密度 $f\left(z ; \sigma^{2}\right)$ ； （2）设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\tilde{\sigma}^{2}$ ； （3）是否存在实数 $a$ ，使得对任意的 $\varepsilon>0$ ，都有 $\lim _{a \rightarrow \infty} P\left\{\left|\hat{\sigma}^{2}-a\right| \geqslant \varepsilon\right\}=0$ ？
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle f(z;\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{6\pi\sigma^2}}e^{-\frac{z^2}{6\sigma^2}}$；（2）$\displaystyle \hat{\sigma}^2=\frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n Z_i^2$；（3）存在，$a=0$ **解析**：步骤1：$X\sim N(\mu,\sigma^2), Y\sim N(\mu,2\sigma^2)$，且独立，则$Z=X-Y\sim N(0, \sigma^2+2\sigma^2)=N(0,3\sigma^2)$。密度$\displaystyle f(z;\sigma^2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot3\sigma^2}}e^{-\frac{z^2}{2\cdot3\sigma^2}}=\frac{1}{\sqrt{6\pi\sigma^2}}e^{-\frac{z^2}{6\sigma^2}}$。 步骤2：似然函数$\displaystyle L(\sigma^2)=\prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{6\pi\sigma^2}}e^{-\frac{z_i^2}{6\sigma^2}} = (6\pi\sigma^2)^{-\frac{n}{2}} e^{-\frac{\sum z_i^2}{6\sigma^2}}$，取对数$\displaystyle \ln L = -\frac{n}{2}\ln(6\pi) - \frac{n}{2}\ln\sigma^2 - \frac{\sum z_i^2}{6\sigma^2}$，对$\sigma^2$求导$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{\sum z_i^2}{6\sigma^4}=0$，解得$\displaystyle \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n Z_i^2$。 步骤3：$\hat{\sigma}^2$是$\sigma^2$的相合估计，即$\lim_{n\to\infty} P\{|\hat{\sigma}^2-\sigma^2|\ge\varepsilon\}=0$，故存在$a=\sigma^2$。 **难度**：★★★☆☆