kaoyan1basic 概率论与数理统计 第17题
📝 题目
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设总体 $X$ 的概梁分布为 | $X$ | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $1-p$ | $p$ | ，其中 $0 （1）求参数 $p$ 的矩估计量和最大似然估计量； （2）验证相应两个估计量的无偏性。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\hat{p}_M = \bar{X}$，$\hat{p}_L = \bar{X}$；（2）两者均为无偏估计 **解析**：步骤1：总体$X\sim B(1,p)$，$E(X)=p$。由矩估计法，$\bar{X}=\hat{p}_M$，故$\hat{p}_M=\bar{X}$。似然函数$L(p)=\prod p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}$，取对数$\ln L = \sum x_i \ln p + (n-\sum x_i)\ln(1-p)$，求导$\displaystyle \frac{d\ln L}{dp}=\frac{\sum x_i}{p} - \frac{n-\sum x_i}{1-p}=0$，解得$\displaystyle \hat{p}_L=\frac{\sum x_i}{n}=\bar{X}$。 步骤2：$E(\hat{p}_M)=E(\bar{X})=p$，$E(\hat{p}_L)=E(\bar{X})=p$，故两者均为$p$的无偏估计。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求参数p的矩估计量
总体X服从两点分布B(1,p)，其数学期望E(X)=p。由矩估计法，令样本均值等于总体期望，即\bar{X}=E(X)=p，解得矩估计量\hat{p}_M=\bar{X}。
公式：E(X)=p, \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \hat{p}_M=\bar{X}
提示：矩估计的基本思想是用样本矩代替总体矩。
步骤 2/4
目标：求参数p的最大似然估计量
写出似然函数L(p)=\prod_{i=1}^n p^{x_i}(1-p)^{1-x_i}=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}，取对数得ln L(p)=\sum x_i \ln p + (n-\sum x_i)\ln(1-p)。对p求导并令导数为0：\frac{d\ln L}{dp}=\frac{\sum x_i}{p}-\frac{n-\sum x_i}{1-p}=0，解得\hat{p}_L=\frac{\sum x_i}{n}=\bar{X}。
公式：L(p)=p^{\sum x_i}(1-p)^{n-\sum x_i}, \frac{d\ln L}{dp}=0 \Rightarrow \hat{p}_L=\bar{X}
提示：最大似然估计通常通过求解似然方程得到。
步骤 3/4
目标：验证矩估计量的无偏性
计算矩估计量的期望：E(\hat{p}_M)=E(\bar{X})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n p = p，因此\hat{p}_M是p的无偏估计。
公式：E(\bar{X})=p
提示：无偏性要求估计量的期望等于参数真值。
步骤 4/4
目标：验证最大似然估计量的无偏性
由于\hat{p}_L=\bar{X}，其期望E(\hat{p}_L)=E(\bar{X})=p，因此\hat{p}_L也是p的无偏估计。
公式：E(\bar{X})=p
提示：最大似然估计量不一定无偏，但此处恰好无偏。
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