kaoyan1basic 概率论与数理统计 第18题
📝 题目
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设总体 $X$ 的分布函数
$$ F(x)= \begin{cases}0, & x<0, \\ \theta, & 0 \leqslant x<1, \\ 1-2 \theta, & 1 \leqslant x<\frac{3}{2}, \\ 1, & x \geqslant \frac{3}{2},\end{cases} $$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}_{M}$ ，并验证其是否有无偏性、一致性； （2）若 $n$ 个样本中有 $n_{1}$ 个观测值为 $1, n_{2}$ 个观测值为 0 ，求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}_{L}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\theta}_M = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\bar{X}$，无偏性：是，一致性：是；（2）$\displaystyle \hat{\theta}_L = \frac{n_1}{2n_2 + 2n_1}$ **解析**：步骤1：求总体期望$E(X) = \int_0^1 x \cdot \theta' dx?$ 由分布函数得$P(X=0)=\theta, P(X=1)=1-2\theta, P(X=3/2)=?$ 实际为离散型：$P(X=0)=\theta, P(X=1)=1-2\theta, P(X=3/2)=\theta$。则$\displaystyle E(X)=0\cdot\theta + 1\cdot(1-2\theta) + \frac{3}{2}\cdot\theta = 1 - \frac{1}{2}\theta$。令$\displaystyle \bar{X}=1-\frac{1}{2}\theta$，得$\hat{\theta}_M = 2 - 2\bar{X}$。修正：$\displaystyle E(X)=1-\frac{1}{2}\theta$，矩估计$\hat{\theta}_M=2(1-\bar{X})$。验证无偏性：$\displaystyle E(\hat{\theta}_M)=2(1-E(\bar{X}))=2(1-(1-\frac{1}{2}\theta))=\theta$，无偏。一致性：$D(\hat{\theta}_M)=4D(\bar{X})\to0$，相合。 步骤2：似然函数$L(\theta)=\theta^{n_2}(1-2\theta)^{n_1}\theta^{n_3}$，其中$n_3=n-n_1-n_2$。取对数求导得$\displaystyle \frac{n_2+n_3}{\theta} - \frac{2n_1}{1-2\theta}=0$，解得$\displaystyle \hat{\theta}_L = \frac{n_2+n_3}{2n_1+2(n_2+n_3)} = \frac{n-n_1}{2n}$。但题目中观测值为1和0，即$n_1$个1，$n_2$个0，其余为3/2，则$n_3=n-n_1-n_2$，$\displaystyle \hat{\theta}_L = \frac{n_2+n_3}{2n}$。若只有0和1，则$n_3=0$，$\displaystyle \hat{\theta}_L = \frac{n_2}{2n_1+2n_2}$。 **难度**：★★★☆☆