kaoyan1basic 概率论与数理统计 第19题
📝 题目
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设总体 $X \sim U[\theta, 2 \theta]$ ，其中 $\theta(>0)$ 是未知参数，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的一个简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值。 （1）求参数 $\theta$ 的矩估计量，并判断它是否是无偏估计和相合估计； （2）求参数 $\theta$ 的最大似然估计量，并判断它是否是无偏估计．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\theta} = \frac{2}{3}\bar{X}$，无偏估计，相合估计；（2）$\displaystyle \hat{\theta} = \frac{X_{(n)}}{2}$，不是无偏估计 **解析**：步骤1：$\displaystyle E(X)=\frac{3}{2}\theta$，令$\displaystyle \bar{X}=\frac{3}{2}\theta$，得$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{2}{3}\bar{X}$。$\displaystyle E(\hat{\theta})=\frac{2}{3}E(\bar{X})=\theta$，无偏。$\displaystyle D(\hat{\theta})=\frac{4}{9}D(\bar{X})=\frac{4}{9}\cdot\frac{\theta^2}{12n}\to0$，相合。 步骤2：似然函数$\displaystyle L(\theta)=\frac{1}{\theta^n}I_{\{X_{(1)}\ge\theta, X_{(n)}\le2\theta\}}$，最大似然估计$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{X_{(n)}}{2}$。$\displaystyle E(\hat{\theta})=\frac{1}{2}E(X_{(n)})=\frac{1}{2}\cdot\frac{2n+1}{n+1}\theta \neq \theta$，不是无偏估计。 **难度**：★★★☆☆